Всего: 72 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–72
Добавить в вариант
оба указанных угла равны 
а в треугольнике с углами 
У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1001, 1002, 1004
(Жюри)
На клетчатой доске лежат доминошки, не касаясь даже углами. Каждая доминошка занимает две соседние (по стороне) клетки доски. Нижняя левая и правая верхняя клетки доски свободны. Всегда ли можно пройти из левой нижней клетки в правую верхнюю, делая ходы только вверх и вправо на соседние по стороне клетки и не наступая на доминошки, если доска имеет размеры
а) 
клеток;
б) 
клеток?
(Николай Чернятьев)
которое не позволяет пройти из левой нижней клетки в правую верхнюю. Действительно, попасть в (серую) область правее самой нижней доминошки нельзя, поскольку сначала мы должны подняться выше первой доминошки, и тогда мы уже выше серой полосы (а вниз ходить нельзя). Далее, нельзя попасть в аналогичную серую область правее следующей доминошки и т. д. Эта конструкция обобщается на любую доску 
Докажем, что в любую свободную клетку этой диагонали можно попасть.
Если клетка 
свободна, то хоть одна из клеток 
в 
не закрыт. а) Выпуклый пятиугольник разбили непересекающимися диагоналями на три треугольника. Могут ли точки пересечения медиан этих треугольников лежать на одной прямой?
б) Тот же вопрос для невыпуклого пятиугольника.
(Александр Грибалко)
из середин сторон BC, CD и DE.а) У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1000, 1002, 1004
б) Тот же вопрос, если у весов левая чашка
(Алексей Толпыго)
при 
иметь более 100 корней? 
обозначает наибольшее целое число, не превосходящее x2).
Оно имеет 199 корней вида 
(где 
Действительно, 
касается параболы 
в точке 
исходное уравнение можно переписать в виде 
Будем решать его графически: искать пересечения графиков параболы и дробной части квадрата. График дробной части 
представляет собой ряд равномерно идущих наклонных полуинтервалов: 
состоит из кусочков параболы: мы разрезаем параболу 
где 
на кусочки и каждый кусочек параллельно сдвигаем вниз к оси абсцисс. Но эти кусочки идут уже не равномерно, а «чем дальше от нуля, тем всё чаще» (ведь при стремлении x к бесконечности ордината возрастает на 1 при увеличении x на всё меньшее (стремящееся к 0) число: 
с достаточно большим а годится: в окрестности своей вершины 
Пусть O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, точка M — середина стороны AC. Прямая BO пересекает высоты AA1 и CC1 в точках Ha и Hc соответственно. Описанные окружности треугольников BHaA и BHcC вторично пересекаются в точке K. Докажите, что K лежит на прямой BM.
(Михаил Евдокимов)
—
пересекает медиану BM в точке K. Тогда внешний угол 
треугольника AKB равен 
(см. далее рисунок слева). Но и внешний угол 
треугольника 
равен 
то есть точка K лежит на описанной окружности треугольника 
Аналогично она лежит на описанной окружности треугольника 
имеем: 
составное. Докажите, что если вписать в числе 2021 сколько угодно восьмёрок между 20 и 21, тоже получится составное число.
Но 
то есть делится на 47, как и 2021. Поэтому, добавляя восьмёрки по одной, мы будем получать числа, делящиеся на 47.В комнате находится несколько детей и куча из 1000 конфет. Дети по очереди подходят к куче. Каждый подошедший делит количество конфет в куче на количество детей в комнате, округляет (если получилось нецелое), забирает полученное число конфет и выходит из комнаты. При этом мальчики округляют вверх, а девочки — вниз. Докажите, что суммарное количество конфет у мальчиков, когда все выйдут из комнаты, не зависит от порядка детей в очереди.
(Максим Дидин)
Точка P — середина EF. Докажите, что угол KPC прямой.
Тогда FCET — параллелограмм, откуда TE равно и параллельно FC. Но тогда треугольники TEK и KBC равны по первому признаку: тупые углы у них равны 
и соответствующие стороны при этих углах равны. Следовательно, треугольник ТКС равнобедренный и его медиана KP является высотой.
Значит, 
Треугольники EAL и CLK также равны, поэтому 
Следовательно, 
и 
). Но тогда KPC — половина равностороннего треугольника, откуда угол KPC прямой.Путешественник прибыл на остров, где живут 50 аборигенов, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец. Все аборигены встали в круг, и каждый назвал сначала возраст своего соседа слева, а потом возраст соседа справа. Известно, что каждый рыцарь назвал оба числа верно, а каждый лжец какой-то из возрастов (по своему выбору) увеличил на 1, а другой — уменьшил на 1. Всегда ли путешественник по высказываниям аборигенов сможет определить, кто из них рыцарь, а кто лжец?
(Александр Грибалко)
В центре каждой клетки клетчатого прямоугольника M расположена точечная лампочка, изначально все они погашены. За ход разрешается провести любую прямую, не задевающую лампочек, и зажечь все лампочки по какую-то одну сторону от этой прямой, если все они погашены. Каждым ходом должна зажигаться хотя бы одна лампочка. Требуется зажечь все лампочки, сделав как можно больше ходов. Какое максимальное число ходов удастся сделать, если
а) M — 
б) M — 
(Александр Шаповалов)
На его диагонали нет других лампочек, поскольку 19 и 20 взаимно просты. Проведём первую прямую параллельно диагонали, чуть ниже, чтобы эти две лампочки оказались над ней, а все остальные лампочки остались с той же стороны, что и до этого; зажжём все лампочки ниже этой прямой. Аналогично проведём вторую прямую параллельно диагонали, но чуть выше, и зажжём все лампочки выше этой прямой, как на рисунке. (Для примера мы взяли N размером 
— поменьше, но тоже с взаимно простыми сторонами.) Оставшиеся две угловые лампочки можно зажечь за два хода, отсекая прямой от остальных.В отель ночью приехали
(Фёдор Ивлев)
или 
номеров, а в случае нечётного k оставшийся номер объявим запасным. Пусть i-й турист сначала проверяет все номера i-го участка, двигаясь слева направо, потом идёт в запасной номер (если тот есть), а потом проверяет номера 
-го
проверяет 1-й участок). Никакие два туриста не попадут при этом в один номер, так как суммарно на двух их участках (включая запасной номер, если он есть), 
различных номеров, в которые будет заходить. Можно считать, что списки не меняются по ходу заселения других туристов (поскольку никакой информации о них мы не узнаём).
чисел различны, иначе два туриста с совпавшим числом могут оба попасть в этот номер (если их предыдущие номера, которых суммарно не больше 
все на ремонте). Следовательно, 
-й номер совпадает с каким-то из 
будут на ремонте, они попадут в один номер. Значит, все 
Каждая пара туристов двигается с противоположных концов по своему коридору. Заметим, что если какой-то турист дошел до центрального номера, то он обнаружил 
ремонтирующихся номеров, поэтому никакой другой турист до центрального номера не дойдёт.
при 
при 
Пусть p и q — взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке 0. Каждый раз она прыгает либо на p вправо, либо на q влево. Однажды лягушка вернулась в 0. Докажите, что для любого натурального 
найдутся два числа, посещённые лягушкой и отличающиеся ровно на d.
(Николай Белухов)
очевиден. Иначе p и q различны, пусть 
Всего лягушка пропрыгала путь, длина которого делится на p и на q, а значит, и на 
так как p и q взаимно просты. Тогда длина пути равна 
для некоторого натурального k, и лягушка сделала 
«коротких» прыжков вправо и 
«длинных» прыжков влево.
с целыми a и b. Это равенство, очевидно, сохранится, если одновременно увеличить (или уменьшить) a на q и b на p. Поэтому можно выбрать a натуральным и не превосходящим q. При этом b будет неотрицательным (иначе 
и так как 
то 
(ведь 
последовательных прыжков лягушки окном. Условно считаем, что за последним прыжком лягушки идёт её первый прыжок (как при движении по кругу), поэтому окно может состоять и из нескольких последних и первых прыжков. Тогда всего окон ровно 
штук.
ведь каждый прыжок учли 
и в среднем на окно придётся 
коротких прыжков. Это число равно
и меньше a. Значит, найдётся окно, где коротких прыжков не менее a, и окно, где их не более a.
для некоторых неотрицательных a и b. Заставим старую лягушку пропрыгать 
где 
Так как 
разность координат новой и старой лягушек кратна 
(если одна прыгает на 
при этом она, по предположению, не может становиться нулевой, поэтому она всегда будет сохранять знак.
а сумму чисел, посещённых старой, — через S. С одной стороны, числа на соответствующих ходах отличались не менее чем на 
причём разность всегда имела один и тот же знак, поэтому 
С другой стороны, набор чисел, посещённых новой лягушкой за цикл, отличается от аналогичного набора старой лягушки сдвигом на d, поэтому 
(отметим, что эти наборы могут содержать некоторые числа по несколько раз, если в течение цикла лягушка посещала их неоднократно). Подставляя и сокращая на T, получаем 
что противоречит условию задачи.
обозначим разность между положениями лягушки в момент 
(то есть через 
для всех i. Тогда все числа 
для целых 
определяется тем, какими были 
-й
или 
Это означает, что числа 
и последовательности прыжков 
Сдвинув путь P на a вправо и на b вверх, получим новый путь Q. Выше на рисунке справа изображён путь Q, полученный из пути на левом рисунке для 
и 
Если P и Q имеют общую точку 
то точка 
также лежит на P. Соответствующие положения лягушки на числовой прямой равны 
и 
а 
полученным добавлением к P его копий, полученными сдвигами на 
и т. д. 
и Q нет, например, Q лежит ниже 
На рисунке справа 
где l — натуральное число). Когда Q совпадает с P, площадь 
равна 0 . Сдвиг на a вправо увеличил эту площадь на kpa, а сдвиг на b вверх уменьшил её на 
Значит, 
горизонтальных линий сетки. В каждой вертикальной полоске клеток хотя-бы на одну больше, чем количество пересекающих её линий, т. к. есть клетка прямо под каждой линией, и клетка выше самой верхней линии. Значит, общая площадь F не менее 
клеток, что не меньше 
В комнате находится несколько детей и куча из 1000 конфет. Дети по очереди подходят к куче. Каждый подошедший делит количество конфет в куче на количество детей в комнате, округляет (если получилось нецелое), забирает полученное число конфет и выходит из комнаты. При этом мальчики округляют вверх, а девочки — вниз. Докажите, что суммарное количество конфет у мальчиков, когда все выйдут из комнаты, не зависит от порядка детей в очереди.
(Максим Дидин)
удовлетворяющие равенствам
и 
Предварительно заметим, что любую пару 
с ненулевым y можно получить так: 
с ненулевым x. Тогда любую пару 
с отличными от нуля x и y можно получить как «сумму» двух рассмотренных выше пар. Пару 
аналогично можно получить пару 
а пару 
—
Заметим, что если мы зафиксируем положительное число k и рассмотрим все возможные пары положительных чисел a, b с суммой k, то множество значений выражения 
это луч 
проверьте это, записав сумму в виде 
так, что 
(сами числа 
пока не фиксируем).
и 
по сказанному выше, принимают все достаточно большие значения, можно подобрать положительные 
как корни многочлена вида 
для того чтобы многочлен 
имел четыре вещественных корня, достаточно, чтобы числа 
и 
были отрицательны. Мы этого добьемся, взяв 
и 
не подходят.Точка M — середина стороны BC треугольника ABC. Окружность ω проходит через точку A, касается прямой BC в точке M и пересекает сторону AB в точке D, а сторону AC — в точке E. Пусть X и Y — середины отрезков BE и CD соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника MXY касается ω.
(Алексей Доледенок)
—
и 
треугольники 
и ABC подобны. Значит, 
По теореме об угле между касательной и хордой сторона BC касается описанной окружности треугольника MXY, откуда следует утверждение задачи.